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leetcode 518. 零钱兑换 II

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10]
输出: 1

注意:

你可以假设：

0 <= amount (总金额) <= 5000
1 <= coin (硬币面额) <= 5000
硬币种类不超过 500 种
结果符合 32 位符号整数

tips : 动态规划，每次只考虑一种硬币，这样可以避免计算一些重复的方案，时间复杂度O(n^2)

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class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount+1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < coins.size(); i++) {
            for(int j = 1; j<amount+1; j++) {
                if(j-coins[i] >= 0) {
                    dp[j] = dp[j] + dp[j-coins[i]] ;
                }
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

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leetcode 673. 完全平方数

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 12
输出: 3
解释: 12 = 4 + 4 + 4.
示例 2:

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.

法1： 动态规划，时间复杂度O(n*sqrt(n)), 空间复杂度O(n)

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class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n+1, 0);
        vector<int> mults;
        int i = 1;
        while(i*i <= n) {
            mults.push_back(i*i);
            i++;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int min_nums = i+1;
            for (int j = 0; j < mults.size() && i >= mults[j]; j++)
            {
                min_nums = min(min_nums, dp[i - mults[j]] + 1 );
            }
            dp[i] = min_nums;
        }
        return dp[n];
    }
};

法2：数学方法, 时间复杂度：O(sqrt(n)), 空间复杂度O(1).

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class Solution {

  protected boolean isSquare(int n) {
    int sq = (int) Math.sqrt(n);
    return n == sq * sq;
  }

  public int numSquares(int n) {
    // four-square and three-square theorems.
    while (n % 4 == 0)
      n /= 4;
    if (n % 8 == 7)
      return 4;

    if (this.isSquare(n))
      return 1;
    // enumeration to check if the number can be decomposed into sum of two squares.
    for (int i = 1; i * i <= n; ++i) {
      if (this.isSquare(n - i * i))
        return 2;
    }
    // bottom case of three-square theorem.
    return 3;
  }
}

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leetcode 673. 最长递增子序列的个数

给定一个未排序的整数数组，找到最长递增子序列的个数。

示例 1:

输入: [1,3,5,4,7]
输出: 2
解释: 有两个最长递增子序列，分别是 [1, 3, 4, 7] 和[1, 3, 5, 7]。
示例 2:

输入: [2,2,2,2,2]
输出: 5
解释: 最长递增子序列的长度是1，并且存在5个子序列的长度为1，因此输出5。
注意: 给定的数组长度不超过 2000 并且结果一定是32位有符号整数。

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class Solution {
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
        if(nums.size()<=0) {
            return 0;
        }
        vector<int> dp_nums(nums.size(),1);
        vector<int> dp_length(nums.size(),1);
        int max_length=1;
        dp_nums[0]=1;
        dp_length[0]=1;
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++)
        {
            for (int j = 0; j  < i; j++)
            {
                if(nums[j]<nums[i]) {
                    if(dp_length[j]+1==dp_length[i]) {
                        dp_nums[i]=dp_nums[j]+dp_nums[i];
                    } else if(dp_length[j]+1>dp_length[i]) {
                        dp_nums[i]=dp_nums[j];
                        dp_length[i]=dp_length[j]+1;
                        if(dp_length[i]>max_length) {
                            max_length=dp_length[i];
                        }
                    }
                }
            }
        }
        // 将所有最长的子序列的个数累加
        int count=0;
        for (int i = 0; i < dp_nums.size(); i++)
        {
            if(dp_length[i]==max_length) {
                count+=dp_nums[i];
            }
        }      
        return count;
    }
};
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